Двойственность Хоу алгебры Хиггса – Хана для восьмимерного гармонического осциллятора

Abstract

Рассмотрены два разных, но изоморфных представления одной алгебры в свете двойственности Хоу: алгебра Хиггса и алгебра Хана. Первая отвечает алгебре симметрии гармонического осциллятора на 2-сфере и полиномиально деформированной SU(2) алгебре, а вторая – кодирует биспектральные свойства одноименных ортогональных многочленов и выступает как алгебра симметрии Хартмана и некоторых других кольцевых потенциалов, а также сингулярного осциллятора в двух измерениях. Показана в явном виде реализация данной адгебры, с одной стороны, как коммутанта O(4) ⊕ O(4) подалгебры U(8) в осцилляторном представлении универсальной обертывающей алгебры U (u(8)) и, с другой стороны, как вложение дискретной версии алгебры Хана в двойное тензорное произведение SU(1,1) ⊗ SU(1,1). Эти две реализации отражают факт, что SU(1,1) и U(8) образуют двойственную пару в пространстве состояний гармонического осциллятора в восьми измерениях. В конце статьи кратко обсуждены дальнейшие возможные направления исследований для обобщения полученных результатов. Первое достаточно очевидно – это рассмотрение проблемы при увеличении или при любом значении N размерности гармонического осциллятора. Второе направление можно связать с анализом ситуации для N-тензорного произведения SU(1,1)⊗N . Еще одним интересным аспектом данной проблемы может быть исследование q-обобщения SU(1,1).