ОЦЕНКА ДЛЯ МЕРЫ МНОЖЕСТВА РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ ПОЛИНОМАМИ

Abstract

В классе целочисленных полиномов P(x) Pn (Q) = {P(x) ∈Z[x]x : degP ≤n, H(P) ≤ Q} рассматривается систе- ма неравенств P xi Q i k W ( ) = ∏1 < _ , 2 ≤ k < n. Обозначим через B множество x x x = k ( ,..., ) 1 , для которых эти неравенства имеют хотя бы одно решение при P(x)∈Pn (Q). В работе при достаточно большом Q > Q0 (n) доказано неравенство µB <1/4µП , где µМ – мера Лебега множества M Rk ⊂ . Ключевые слова: целочисленный полином, степень полинома, дискриминант, мера Лебега, действитель- ные числа. In the class of integer polynomials P(x) Pn (Q) = {P(x) ∈Z[x]x : degP ≤n, H(P) ≤ Q} the system of inequalities P xi Q i k W ( ) = ∏1 < _ , 2 ≤ k < n. is being considered. Let us designate the multitude

x x x = k ( ,..., ) 1 through B, for which these inequalities have at least one solution with P(x)∈Pn (Q). In the work with rather large Q > Q0 (n) the inequality µB <1/4µП, µМ – has been proved, where is Lebesgue measure of the multitude M Rk ⊂ . Keywords: integer polynomial, degree of polynomial, discriminant, Lebesgue measure, real numbers.